Solution
\[
\because|\overrightarrow{\mathrm{a}}|=|\overrightarrow{\mathrm{b}}|=|\overrightarrow{\mathrm{c}}|=1
\]
As given $|\overrightarrow{\mathrm{a}}-\overrightarrow{\mathrm{b}}|^{2}+|\overrightarrow{\mathrm{b}}-\overrightarrow{\mathrm{c}}|^{2}+|\overrightarrow{\mathrm{c}}-\overrightarrow{\mathrm{a}}|^{2}=9$
\[
\begin{aligned}
& \Rightarrow|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}-2 \vec{a} \cdot \vec{b}+|\vec{b}|^{2}+|\vec{c}|^{2}-2 \vec{b} \cdot \vec{c}+|\vec{c}|^{2}+|\vec{a}|^{2}-2 \vec{c} \cdot \vec{a}=9 \\
& \Rightarrow 1+1-2 \vec{a} \cdot \vec{b}+1+1-2 \vec{b} \cdot \vec{c}+1+1-2 \vec{c} \cdot \vec{a}=9 \\
& \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}=-\frac{3}{2} \\
& \because|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^{2}=|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}+|\vec{c}|^{2}+2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}) \\
& =1+1+1+2\left(-\frac{3}{2}\right)=0 \\
& \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=0 \\
& |2 \vec{a}+k(\vec{b}+\vec{c})|=3 \\
& \Rightarrow|2 \vec{a}-\vec{a} k|=3 \Rightarrow|\vec{a} \|(2-k)|=3 \\
& \Rightarrow 2-k \mid=3 \Rightarrow 2-k= \pm 3
\end{aligned}
\]
we get $\mathrm{k}=-1 ; \mathrm{k}=5$ Answer(4)
.
